ZH 1 tételek segédlet

Lineáris közelítés

Tétel

Legyen \(f\in\R\rightarrow\R\) és \(a\in\text{int}\,\mathcal{D}_f\).

Ekkor \(f\in D\{a\} \Longleftrightarrow \begin{cases}\exists A \in \R~~\text{és}~~\exists\varepsilon:\mathcal{D}_f\rightarrow\R, \underset{a}{\lim}\;\varepsilon = 0 \\ f(x) - f(a) = A \cdot (x - a) + \varepsilon(x)(x - a) (x\in\mathcal{D}_f) \end{cases}\)

és \(A = f'(a)\)

\(\Longrightarrow\)

Írd fel a derivált definícióját, hozd ki 0-ra
\(\varepsilon(x) := \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} - f'(a)\qquad(x\in \mathcal{D}_f)\)
Rendezz
PROFIT

\(\Longleftarrow\)

Írd le a linköz egyenletét
Rendezz
Ossz \((x-a)\)-val
PROFIT

Szorzatfüggvény deriváltja

Tétel

\(f,g \in D\{a\}, a\in\text{int}(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g):\)

\(f\cdot g\in D\{a\}:\quad (f\cdot g)'(a)= f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)\)

Írd fel a derivált definícióját \((fg)\)-re
Bontsd szét
Bővítsd a számlálót \(f(a) \cdot g(x)\)-el
Emeld ki a két deriváltszerű törtet
Vedd a határértékeket (\(\underset{x\to a}{\lim}\;g(x) = g(a)\))
Deriváltakat írd ki, \(g(x)\)-et írd át
PROFIT

Hányadosfüggvény deriváltja

Tétel

\(f,g \in D\{a\}, a\in\text{int}(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g), g(a) \ne 0:\)

\(\dfrac{f}{g}\in D\{a\}, \left(\dfrac{f}{g}\right)'(a)=\dfrac{f'(a)\cdot g(a)-f(a)\cdot g'(a)}{g^2(a)}\)

Írd fel a derivált definícióját \(\dfrac{f}{g}\)-re
Bontsd szét
Közös nevező
A középső nevezőt emeld ki előre \(\dfrac{1}{\text{nevező}}\) alakban
Bővíts \(f(a) \cdot g(a)\)-el
Emeld ki a két deriváltszerű törtet
Vedd a határértékeket (\(\underset{x\to a}{\lim}\;g(x) = g(a)\))
Deriváltakat írd ki, \(g(x)\)-et írd át
PROFIT

Lokális szélsőérték elsőrendű szükséges feltétele

Tétel

\(f:\R\rightarrow\R,a\in \text{int}\,\mathcal{D}_f, f\text{-nek}\;a\text{-ban lokális szélsőértéke van}, f\in D\{a\}.\) Ekkor

\[ f'(a)=0 \]

Írd fel a lokális maximum definícióját
Ebből írd fel azt hogy \(f(x) - f(a) \leq 0\)
Írjuk fel a deriváltra hajazó törtet (És vedd ki az \(a\) pontot az értelmezési tartományból)
Vizsgáld meg az \(a<x\) és \(x<a\) eseteket
Írd fel a jobb és bal oldali határértékeket belőlük
PROFIT

Rolle(r) féle Középérték

Tétel

\(Legyen\; a,b\in\R,\;a<b\quad Ekkor\)

\[ \begin{drcases} f \in C\left[a,b\right] \\ f\in D\left(a,b\right) \\ f(a) = f(b)\end{drcases}\Longrightarrow \exists \green{\xi} \in (a,b)\;:\; f'(\green{\xi})= 0 \]

Weierstrass \(\Longrightarrow\) kell legyen minimum és maximum
2 eset: \(m = M\) vagy \(m \neq M\)
Ha \(m = M\) akkor konstans és mindenhol jó
Ha \(m \neq M\) akkor vagy a lok. min vagy a lok. max lesz a \(\xi\)
PROFIT

Lagrange féle Középérték

Tétel

Legyen \(a,b\in\R,\;a<b\quad\) Ekkor

\[ \begin{drcases} f \in C\left[a,b\right] \\ f\in D\left(a,b\right) \end{drcases}\Longrightarrow \exists \xi \in (a,b)\;:\; f'(\xi)= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Írd fel a szelő képletét és nevezd el \(h_{a,b}\)-nek. \(\Longleftarrow \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\)
Deklaráld az \(F(x) := f(x) - h_{a,b}(x)\)-et
Lásd be hogy \(F(x)\)-re teljesül Rolle, bizonyítsd hogy \(F(a)=0\) és \(F(b)=0\)
Ekkor létezik olyan pont ahol \(F'(\xi)=0\), ebből ki lehet számolni mennyi az \(f'(\xi)\)
PROFIT

Cauchy-féle Középérték

Tétel

Legyen \(a,b\in\R,\;a<b\quad\) Ekkor

\[ \begin{drcases} f \in C\left[a,b\right] \\ f\in D\left(a,b\right) \\ \forall x \in (a,b): g'(x) \neq 0\end{drcases}\Longrightarrow \exists \xi \in (a,b)\;:\; \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}= \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

\(\textcolor{salmon}{F(x)}:= f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot(g(x)-g(a)) \quad(x\in\left[a,b\right])\)
Lásd be hogy \(F(x)\)-re teljesül Rolle, bizonyítsd hogy \(F(a)=0\) és \(F(b)=0\)
Ekkor létezik olyan pont ahol \(F'(\xi)=0\), ebből ki lehet számolni mennyi az \(\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)
PROFIT

Monotonitás és a derivált kapcsolata

Tétel

Legyen \((a,b)\subset\R,\quad f\in D\left(a,b\right):\)

\(f\nearrow (a,b)\text{-n}\;\Longleftrightarrow\;f'\ge 0\;(a,b)\text{-n}\)
\(f' > 0\;(a,b)\text{-n}\;\Longrightarrow\;f\uparrow(a,b)\text{-n}\)

\(\Longrightarrow\)
Vegyünk egy \(t \in (a, b)\) úgy hogy \((t<x)\)
Írd fel a derivált törted úgy hogy az \(\geq 0\)
(\(a<t<x<b\)) miatt \(x-t > 0\)
Mivel monoton, ezért \(f(x)-f(t)\geq0\)
Vedd a jobb oldali deriváltat, lásd be hogy \(\geq0\), ebből következik hogy a derivált is az.
\(\Longleftarrow\)
\(\forall x \in (a, b): f'(a) \geq 0\)
\(\forall x,y \in (a, b), x < y : f \in C[x,y], f \in D(x,y)\)
Lagrange k.t. \(\Longrightarrow f'(\xi) \geq 0 \Longrightarrow f(x) \leq f(y)\)
Tehát \(f\nearrow (a,b)\text{-n}\)
\(\Longrightarrow\)
Alkalmazzunk éles egyenlőséget 1. \(\Longleftarrow\) irányba.
PROFIT

Lokális szélsőérték elsőrendű elégséges feltétele

Tétel

\(-\infin<a<b<+\infin,\;f:(a,b)\to\R\)

\(f\in D (a,b)\)
\(\exists c\in(a,b):\; f'(c) =0\)
\(f'\) előjelet vált \(c\)-ben

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor \(f\)-nek \(c\) pontban lokális szélsőértéke van.

Írd fel a (-, +) előjelváltás definícióját
- \(\exists \textcolor{teal}{\delta} > 0: f'<0~~(\textcolor{orchid}{c}-\textcolor{teal}{\delta},\textcolor{orchid}{c})\)-n, \(f'>0~~(\textcolor{orchid}{c},\textcolor{orchid}{c}+\textcolor{teal}{\delta})\)
Ebből következik hogy \(f\) előjelváltás előtt \(\downarrow\) utána pedig \(\uparrow\)
Tehát tudjuk hogy \(\forall x \in (\textcolor{orchid}{c}-\textcolor{teal}{\delta},\textcolor{orchid}{c}+\textcolor{teal}{\delta}): f(x) > f(\textcolor{orchid}{c})\)
Ez a lokális minimum definíciója
Lok. maximum ugyanígy fordítva
PROFIT

Konvexitás deriváltfüggvénnyel

Tétel

\(I\subset\R\) nyílt intervallum, \(f\in D(I):\)

\[ f~\text{konvex}~I\text{-n}\quad\Longleftrightarrow\quad f'\;\nearrow\;I\text{-n} \]

\(\Longrightarrow\)

Konvexitás definíciója szerint: \(\forall u, v \in I, u < v,\; x \in (u, v)\;\) (\(u\) és \(v\) a szelő két végpontja)
\(f\) konvex \(I\)-n
Felírjuk a konvexitás definícióját \(u\)-ra is meg \(v-re\) is
Mindkét esetben a következő lépésekkel rendezünk:
- \(/ -f(u \lor v)\)
- \(/ \div (x-(u \lor v))\) (Itt a a \(v\) esetén megfordul a relációs jel)
Elvileg ennek kell kijönnie:

\[ \green{\dfrac{f(x)-f(u)}{x-u}}\le\textcolor{rosybrown}{\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}}\le\green{\dfrac{f(x)-f(v)}{x-v}} \]

Vegyük ki \(x\to u\) és \(x\to v\) határértékeket (derivált definíciója):

\[ \green{f'(u)}\le\textcolor{rosybrown}{\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}}\le\green{f'(v)} \]

\(\Longleftarrow\)

Ha \(f'\;\nearrow\; I\)-n \(\Longrightarrow\) \(u,v\in I,\; u<v,\;x\in(u,v)\)
Lagrange k.t. szerint kettébontjuk az intervallumot: \(\exists\xi_1\in(u,x),\exists\xi_2\in(x,v)\)
Felírod a két törtet \(\xi_1\) és \(\xi_2\)-re.
Mivel \(f'\;\nearrow\; \Longrightarrow f'(\xi_1)\le f'(\xi_2)\)
- Ez a kapcsolat a két kapcsolódó törtre is fennáll.
Rendezd az egyenlőtlenséget így (A cél hogy az egyik oldalon csak \(f(x)\) legyen):
- \(/ \cdot (x - u)\)
- \(/ + f(u)\)
Ezzel elvileg kijött maga a konvexitás definíciója tehát \(f\) konvex \(I\)-n
PROFIT

L'Hospital szabály \(\frac00\) esetre

Tétel

\(-\infin\le a < b < +\infin;~f,g\in D(a,b)\). T.f.h.

\(\exists\;\underset{a+0}{\lim}\, f = \underset{a+0}{\lim}\, g = 0\)
\(g(x) \ne 0, g'(x) \ne 0\quad \forall x\in (a,b)\)
\(\exists\underset{a+0}{\lim}\dfrac{f'}{g'}\in\overline{\R}\)

Ekkor

\[ \exists\;\underset{a+0}{\lim}\,\dfrac{f}{g}\in\overline\R\quad\land\quad\underset{a+0}{\lim}\,\dfrac{f}{g}=\underset{a+0}{\lim}\,\dfrac{f'}{g'}\in\overline\R \]

Esélytelen

A Taylor-formula a Lagrange-féle maradéktaggal

Tétel

\(n \in \N, f\in D^{n+1} \left(K\left(a\right)\right):\;\forall x \in K(a):\)

\[ \exists \xi\in(a,x): f(x)-T_{a,n}f(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]

Esélytelen