ZH tételek no.2
Tartalomjegyzék
Oszcillációs összegek
Definíció - Oszcillációs összeg
Ha \(f \in K[a, b]\), \(\tau \in \mathcal{F}[a, b]\), akkor
Magyarul megfogalmazva a két közelítő összeg különbségeinek az összege.
Tétel
\(f \in R[a, b] \iff\)
\(\forall \varepsilon>0 \; \exists\tau\in\mathcal{F}[a, b]: \Omega(f, \tau)<\varepsilon\)
Warning
Bizonyítás \(\Longrightarrow\)
Sup emlékeztető
\(\sup\;a =A \iff A\text{ felső korlátja }a\text{ halmaznak ÉS } \forall\varepsilon>0\;\exists x\in a:A-\varepsilon<x\)
Mivel \(f \in R[a, b]\), ezért \(I_*(f)=I^*(f)\)
Ez legyen \(I(f)\)
\(I_*\) definíciója szerint: \(I(f)=I_*(f)=\sup\{s(f, \tau) | \tau \in \mathcal{F}[a, b]\}\)
\(\sup\) definíciója szerint: \(\forall \varepsilon>0 \;\exists \tau_1\in\mathcal{F}[a,b]:\blue{I(f)-\frac{\varepsilon}{2}<s(f, \tau_1)}\) - Hivatalos definíció szerint \(\varepsilon\) lenne, de \(\frac\varepsilon2\) ugyanúgy használható
\(I^*\) definíciója szerint: \(I(f)=I^*(f)=\inf\{S(f, \tau) | \tau \in \mathcal{F}[a, b]\}\)
\(\inf\) definíciója szerint: \(\forall \varepsilon>0 \;\exists \tau_2\in\mathcal{F}[a,b]:\blue{I(f)+\frac{\varepsilon}{2}>S(f, \tau_2)}\)
Legyen \(\tau := \tau_1 \cup \tau_2\).
\(\tau\) egyértelműen finomítása \(\tau_1\)-nek és \(\tau_2\)-nek is. Mivel \(\tau\) egy "pontosabb" felbontás, mint \(\tau_{1, 2}\), ezért a közelítőösszegei közelebb vannak a Darboux integrálokhoz (\(I_*, I^*\)).
Ezek szerint, a következő egyenlőtlenségek fennállnak:
-
egyenlőtlenség
\(\blue{I(f)-\frac\varepsilon2}<\overbrace{\blue{s(f, \tau_1)}}^{\text{Tranzitivitás}}\leq \green{s(f, \tau)} \Rightarrow\)
\(\blue{I(f)-\frac\varepsilon2}<\green{s(f, \tau)} \iff\)
\(\green{-s(f, \tau)}<\blue{\frac\varepsilon2-I(f)}\)
-
egyenlőtlenség
\(\green{S(f, \tau)} \leq \overbrace{\blue{S(f, \tau_2)}}^{\text{Tranzitivitás}} < \blue{I(f)+\frac\varepsilon2} \Rightarrow\)
\(\green{S(f, \tau)} < \blue{I(f)+\frac\varepsilon2}\)
Gyakorlatilag összevonjuk a Darboux definícióját azzal a TRIVIÁLIS ténnyel, hogy a finomítás mindig "közelebb" van a "valósághoz" mint az eredeti felosztás.
Ha ezt a két egyenlőtlenséget összeadjuk, akkor:
\(\green{S(f, \tau)-s(f, \tau)} < \blue{\frac\varepsilon2-I(f)+I(f)+\frac\varepsilon2}=\blue{\varepsilon}\)
Mivel \(S(f, \tau)-s(f, \tau) =: \Omega\), ezért \(\Omega<\varepsilon\)
Így, minden \(\varepsilon\)-hoz tudtuk mondani egy olyan \(\tau\)-t (\(\tau_1\cup\tau_2\)), amire igaz, hogy \(\Omega<\varepsilon\). Ezzel bizonyítottuk az állítást. Q.E.D. \(\blacksquare\) Triviális Meggondolandó Nélkül.
Warning
Bizonyítás \(\Longleftarrow\)
Legyen \(\varepsilon>0\) tetszőleges, és \(\tau\in\mathcal{F}[a, b]: \Omega(f, \tau)<\varepsilon\)
Vegyük, a következő egyenlőtlenségeket:
-
egyenlőtlenség
\(s(f, \tau)\leq I_*(f) \iff -I_*(f)\leq -s(f, \tau)\)
-
egyenlőtlenség
\(I^*(f)\leq S(f, \tau)\)
-
egyenlőtlenség
\(I_*(f)\leq I^*(f) \iff 0 \leq I^*(f)-I_*(f)\)
Összeadjuk őket:
\(I^*(f)-I_*(f)\leq S(f, \tau)-s(f, \tau)=\Omega(f, \tau)<\varepsilon\)
Tehát
\(\forall\,\varepsilon>0: 0 \leq I^*(f)-I_*(f) < \varepsilon\)
Tehát
\(I^*(f)-I_*(f) = 0\)
mivel bármilyen \(\varepsilon < 0\) nagyobb ennél a kifejezésnél.
\(I^*(f)=I_*(f)\), tehát \(f \in R[a, b]\)