Vizsga kérdések

Differenciálszámítás

1. Definiálja a valós számok halmazának részhalmazaira a belső pont fogalmát!

$\emptyset \ne A \subset \R$. Az $a \in A$ pont belső pont, ha

\[ \exists r > 0, K_r(a)=(a-r,a+r)\subset A \]

Jelölés: $\quad\text{int} A := \left\{a\in A\right | a~\text{belső pontja A-nak}\}$

2. Definiálja a különbségihányados-függvény fogalmát!

\[ f\in\R\to\R ~~\text{és}~~ a \in \text{int}~\mathcal{D}_f: \]

Az $f$ függvény $a$ ponthoz tartozó különbségihányados-függvénye:

\[ \triangle_a f(x):=~\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad \Big(x \in \mathcal{D}_f \setminus \{a\}\Big) \]

3. Mikor mondja, hogy egy $f \in \R \rightarrow \R$ függvény differenciálható valamely pontban?

$f \in \R \to \R$ függvény az $a\in \text{int}\mathcal{D}_f$ pontban akkor deriválható, ha

\[ \exists ~\text{ és véges a }~ \underset{h\to0}{\lim}~\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

4. Mi a kapcsolat a pontbeli differenciálhatóság és a folytonosság között?

\[ f\in D\{a\} \implies f\in\text{C}\{a\} \]

Az állítás fordítva nem igaz

5. Adjon példát olyan függvényre, ami az $a \in \R$ pontban folytonos, de nem differenciálható!

\[ \text{abs} \in \text{C}\{a\} \qquad\land\qquad\text{abs}\notin D\{a\} \]

\[ \R~\backslash~\{0\}\ni x\mapsto\dfrac{\text{abs}(x)-\text{abs}(0)}{x-0}=\dfrac{|x|-|0|}{x}= \begin{cases}1,& \text{ha}&x > 0 \\ -1,& \text{ha}&x < 0\end{cases} \]

függvénynek a 0 pontban nincsa határértéke.

6. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra a lineáris közelítéssel?

Legyen $f\in\R\rightarrow\R$ és $a\in\text{int}\mathcal{D}_f$.

Ekkor $f\in D\{a\} \Longleftrightarrow \begin{cases}\exists A \in \R~~\text{és}~~\exists\varepsilon:\mathcal{D}_f\rightarrow\R, \underset{a}{\lim}\;\varepsilon = 0 \\ f(x) - f(a) = A \cdot (x - a) + \varepsilon(x)(x - a) (x\in\mathcal{D}_f) \end{cases}$

és $A = f'(a)$

7. Definiálja az érintő fogalmát!

$f\in\R\to\R$ függvény grafikonjának az $\big(a,f\left(a\right)\big)$ pontban van érintője, ha $f\in D\{a\}$

Az érintő:

\[ y = f'(a)\cdot(x-a)+f(a) \]

egyenes.

8. Milyen tételt ismer két függvény összegének valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?

$f,g \in D\{a\}, a\in\text{int}(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g):$

\[ f+g\in D\{a\}:\quad(f+g)'(x) = f'(a)+g'(a) \]

9. Milyen tételt ismer két függvény szorzatának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?

$f,g \in D\{a\}, a\in\text{int}(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g):$

\[ f\cdot g\in D\{a\}:\quad (f\cdot g)'(a)= f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a) \]

10. Milyen tételt ismer két függvény hányadosának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?

$f,g \in D\{a\}, a\in\text{int}(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g), g(a) \ne 0:$

\[ \dfrac{f}{g}\in D\{a\}, \left(\dfrac{f}{g}\right)'(a)=\dfrac{f'(a)\cdot g(a)-f(a)\cdot g'(a)}{g^2(a)} \]

11. Milyen tételt ismer két függvény kompozíciójának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?

$f,g\in\R\to\R,~ \mathcal{R}_g\subset\mathcal{D}_f$ és egy $a\in \mathcal{D}_g$ pontban $g\in D\{a\},$ továbbá $f\in D\{g(a)\}.$ Ekkor $f\circ g\in D\{a\},$ és

\[ (f\circ g)'(a)= f'(g(a)) \cdot g'(a) \]

12. Milyen tételt tanult az inverz függvény differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?

$I\subset\R$ nyílt intervallum ls $f:I\to\R$. TFH

$f$ szigorúan monoton és folytonos $I$-n
egy $a\in I$ pontban $f\in D\{a\}$ és $f'(a)\ne 0$

Ekkor az $f^{-1}$ inverz függvény deriválható a $b:=f(a)$ pontban és

\[ (f^{-1})'(b)=\dfrac1{f'(a)}=\dfrac1{f'(f^{-1}(b))} \]

13. Milyen állítást tud mondani hatványsor összegfüggvényének a deriválhatóságáról és a deriváltjáról?

TFH. a $\underset{n=0}{\Large{\sum}}\alpha_n(x-a)^n ~~(x\in\R)$ hatványsor $\text{R}$ konvergenciasugara pozitív, és legyen

\[ f(x):=\overset{+\infty}{\underset{n=0}{\Large{\sum}}}\alpha_n(x-a)^n\quad\big(x \in K_R(a)\big) \]

Ekkor $\forall x\in K_R(a)$ pontban $f\in D\{x\}$ és

\[ f'(x):=\overset{+\infty}{\underset{n=1}{\Large{\sum}}}n\alpha_n(x-a)^{n-1}\quad\big(\forall x \in K_R(a)\big) \]

14. Definiálja a jobb oldali derivált fogalmát!

$f\in\R\to\R, a\in\mathcal{D}_f,\exists\delta>0:\left[a,a+\delta\right)\subset\mathcal{D}_f$

AMH $f$ az $a$ pontban jobbról deriválható, ha

\[ \exists~~\text{és véges a}~~\underset{x\to a+0}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \]

határérték.

Jelölés: $f_+'(a)$

15. Definiálja a bal oldali derivált fogalmát!

$f\in\R\to\R, a\in\mathcal{D}_f,\exists\delta>0:\left(a-\delta,a\right]\subset\mathcal{D}_f$

AMH $f$ az $a$ pontban balról deriválható, ha

\[ \exists~~\text{és véges a}~~\underset{x\to a-0}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \]

határérték.

Jelölés: $f_-'(a)$

16. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény kétszer differenciálható egy pontban?

$f\in\R\to\R$ és $a\in\text{int}\mathcal{D}_f$. AMH $f$ kétszer deriválható az $a\in\text{int}\mathcal{D}_f$ pontban, ha

$\exists r>0:\;f\in D(K_r(a))$
$f'\in D\{a\}$

Ekkor

\[ f''(a):=\left(f'\right)'(a) \]

az $f$ függvény a-beli második deriváltja

17. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény $n$-szer ($2 \le n \in \N$) differenciálható egy pontban?

$f\in\R\to\R$ és $a\in\text{int}\mathcal{D}_f$ és minden $n=2,3,\ldots$-re $\exists$ az $f^{(n-1)}$ deriváltfüggvény. AMH $f~~n$-szer deriválható az $a\in\mathcal{D}_f$ pontban $\big(\text{Jelölés: } f \in D^{n}\{a\}\big)$, ha

$\exists r > 0: f\in D^{n-1}\big(K_r\left(a\right)\big)$
$f^{(n-1)}\in D\{a\}$

Ekkor

\[ f^{(n)}(a):=\left(f^{(n-1)}\right)'(a) \]

18. Mondja ki a Rolle-tételt!

Legyen $a,b\in\R,\;a<b$ Ekkor:

\[ \begin{drcases} f \in C\left[a,b\right] \\ f\in D\left(a,b\right) \\ f(a) = f(b)\end{drcases}\Longrightarrow \exists \xi \in (a,b)\;:\; f'(\xi)= 0 \]

19. Mondja ki a Lagrange-féle középértéktételt!

Legyen $a,b\in\R,\;a<b\quad$ Ekkor

\[ \begin{drcases} f \in C\left[a,b\right] \\ f\in D\left(a,b\right) \end{drcases}\Longrightarrow \exists \xi \in (a,b)\;:\; f'(\xi)= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

20. Mondja ki a Cauchy-féle középértéktételt!

Legyen $a,b\in\R,\;a<b\quad Ekkor$

\[ \begin{drcases} f,g \in C\left[a,b\right] \\ f,g\in D\left(a,b\right) \\ \forall x\in (a,b) : g'(x)\ne 0\end{drcases}\;\Longrightarrow \exists \xi \in (a,b)\;:\; \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}= \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

21. Mit ért azon, hogy az $f \in \R \rightarrow \R$ függvénynek valamely helyen lokális minimuma van?

$f\in\R\to\R,\;a\in\text{int}\,\mathcal{D}_f$

\[ \exists K(a)\subset \mathcal{D}_f,\;\forall x \in K(a):\;f(x)\ge f(a) \]

Ekkor $a$ a lokális minimum helye, $f(a)$ annak értéke

22. Mit ért azon, hogy az $f \in \R \rightarrow \R$ függvénynek valamely helyen lokális maximuma van?

$f\in\R\to\R,\;a\in\text{int}\,\mathcal{D}_f$

\[ \exists K(a)\subset \mathcal{D}_f,\;\forall x \in K(a):\;f(x)\le f(a) \]

Ekkor $a$ a lokális maximum helye, $f(a)$ annak értéke

23. Hogyan szól a lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel?

$f:\R\rightarrow\R,a\in\mathcal{D}_f, f\text{-nek}\;a\text{-ban lokális szélsőértéke van}, f\in D\{a\}.$ Ekkor

\[ f'(a)=0 \]

24. Adjon példát olyan $f \in \R \rightarrow \R$ függvényre, amelyre valamely $a \in \R$ esetén $f \in D\left\{a\right\}, f'(a) = 0$ teljesül, de az $f$ függvénynek az a pontban nincs lokális szélsőértéke!

\[ f(x):=x^3\implies f'(x)=3x^2\;(x\in\R)\implies f'(0)=0 \]

$f$-nek $0$-ban viszont nincs lok. szélsőértéke

25. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer differenciálható függvény monoton növekedésével kapcsolatban?

\[ f\nearrow (a,b)\text{ -n}\iff f'\ge0\text{ -n} \]

26. Milyen elégséges feltételt ismer differenciálható függvény szigorú monoton növekedésével kapcsolatban?

\[ f'>0(a,b)\text{ -n}\implies f\uparrow(a,b)\text{ -n} \]

27. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer differenciálható függvény szigorú monoton növekedésével kapcsolatban?

$(a,b)\subset\R\;f\in D(a,b)$

Ekkor $f\uparrow (a,b)$-n $\iff f'\ge 0 (a,b)$-n és nincs olyan részintervalluma, amelyen $f'$ azonosan $0$.

VAGY

$(a,b)\subset\R\;f\in D(a,b) \iff$

$f'\ge 0 (a,b),$

$\forall x\in(a,b),\,f'(x)=0:$ $$ \exists r>0,K_r(x)\subset (a,b):\;\forall y\in K_r(x), f'(y)=0\implies y = x $$

28. Mit ért azon, hogy egy függvény valamely helyen jelet vált?

$x\in (c-\delta,c):h(x)\blue<0\;\land\;x\in (c,c+\delta):h(x)\red>0$ $(\blue-,\red+)$ btw

$\lor$

$x\in (c-\delta,c):h(x)\red>0\;\land\;x\in (c,c+\delta):h(x)\blue<0$ $(\red+,\blue-)$ btw

29. Hogyan szól a lokális minimumra vonatkozó elsőrendű elégséges feltétel?

$-\infty<a<b<+\infty~;\;~f:(a,b) \to\R$.

TFH.

$f\in D(a,b)$
$c\in(a,b): f'(c)=0$
$f'$ függvénynek $(\blue-,\red+)$ előjelváltása van $c$-ben

Ekkor $f$-nek lokális minimuma van $c$-ben.

30. Hogyan szól a lokális maximumra vonatkozó elsőrendű elégséges feltétel?

$-\infty<a<b<+\infty~;\;~f:(a,b) \to\R$.

TFH.

$f\in D(a,b)$
$c\in(a,b): f'(c)=0$
$f'$ függvénynek $(\red+,\blue-)$ előjelváltása van $c$-ben

Ekkor $f$-nek lokális maximuma van $c$-ben.

31. Írja le a lokális minimumra vonatkozó másodrendű elégséges feltételt!

$-\infty<a<b<+\infty~;\;~f:(a,b) \to\R$.

$f\in D^2\{c\}$
$f'(c)=0$
$f''(c)\ne0$
$f''(c)>0 \implies f$-nek $c$-ben szigorú lokális minimuma van

32. Írja le a lokális maximumra vonatkozó másodrendű elégséges feltételt!

$-\infty<a<b<+\infty~;\;~f:(a,b) \to\R$.

$f\in D^2\{c\}$
$f'(c)=0$
$f''(c)\ne0$
$f''(c)<0 \implies f$-nek $c$-ben szigorú lokális maximuma van

33. Mi a konvex függvény definíciója?

AMH $f: I\to\R$ függvény konvex az $I$ intervallumon, ha

$\forall\;a,b\in I,~~a<b:$ $$ f(x)\le\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\quad\big(\forall x\in(a,b)\big) $$

34. Mi a konkáv függvény definíciója?

AMH $f: I\to\R$ függvény konkáv az $I$ intervallumon, ha

$\forall\;a,b\in I,~~a<b:$ $$ f(x)\ge\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\quad\big(\forall x\in(a,b)\big) $$

35. Jellemezze egy függvény konvexitását az első deriváltfüggvény segítségével!

$I\subset\R~\land~f\in D(I):$

\[ f'~\nearrow~I~~\text{-n} \]

36. Jellemezze egy függvény konkávitását az első deriváltfüggvény segítségével!

$I\subset\R~\land~f\in D(I):$

\[ f'\searrow~I~~\text{-n} \]

37. Jellemezze egy függvény konvexitását a második deriváltfüggvény segítségével!

$I\subset\R~\land~f\in D^2(I):$

\[ f''\ge0~I~~\text{-n} \]

38. Jellemezze egy függvény konkávitását a második deriváltfüggvény segítségével!

$I\subset\R~\land~f\in D^2(I):$

\[ f''\le0~I~~\text{-n} \]

39. Mi az inflexiós pont definíciója?

$I\subset\R,\;f\in D(I)$

AMH $c \in I$ az $f$ inflexiós pontja, ha

\[ \exists\delta>0:\quad f~\text{konvex}~ \left(c-\delta,c\right]\text{-n ~ és konkáv}~\left[c,c+\delta\right)\text{-n} \]

vagy fordítva.

Érintő fogalma

\[ e_{f,a}(x):=f'(a)(x-a)+f(a)\quad(x\in\R) \]

40. Mondja ki a konvexitás és az érintő kapcsolatára vonatkozó tételt!

\[ f~\text{konvex}~~I\text{-n} \iff \forall a \in I:f(x)\ge e_{f,a}(x) \]

VAGY

\[ f~\text{konvex}~~I\text{-n} \iff \forall a \in I:f(x)\ge f'(a)(x-a)+f(a)\quad(x\in\R) \]

41. Mondja ki a konkávitás és az érintő kapcsolatára vonatkozó tételt!

\[ f~\text{konkáv}~~I\text{-n} \iff \forall a \in I:f(x)\le e_{f,a}(x) \]

VAGY

\[ f~\text{konkáv}~~I\text{-n} \iff \forall a \in I:f(x)\le f'(a)(x-a)+f(a)\quad(x\in\R) \]

42. Írja le a $\frac00$ esetre vonatkozó L’Hospital-szabályt!

$-\infty\le a<b<+\infty$ és $f,g\in D(a,b)$

$\exists\underset{a+0}{\lim}f = \exists\underset{a+0}{\lim}g=0,$
$g(x)\ne0,\;g'(x)\ne0\;\;\forall x\in(a,b),$
$\exists\underset{a+0}{\lim}\dfrac{f'}{g'}\in\overline\R$

Ekkor

\[ \exists\underset{a+0}{\lim}\dfrac{f}g \in \overline\R\quad\text{és}\quad \underset{a+0}{\lim}\dfrac{f}g =\underset{a+0}{\lim}\dfrac{f'}{g'}\in \overline\R \]

43. Írja le a $\frac{+ \infty}{+ \infty}$ esetre vonatkozó L’Hospital-szabályt!

$-\infty\le a<b<+\infty$ és $f,g\in D(a,b)$

$\exists\underset{a+0}{\lim}f = \exists\underset{a+0}{\lim}g=+\infty,$
$g(x)\ne0,\;g'(x)\ne0\;\;\forall x\in(a,b),$
$\exists\underset{a+0}{\lim}\dfrac{f'}{g'}\in\overline\R$

Ekkor

\[ \exists\underset{a+0}{\lim}\dfrac{f}g \in \overline\R\quad\text{és}\quad \underset{a+0}{\lim}\dfrac{f}g =\underset{a+0}{\lim}\dfrac{f'}{g'}\in \overline\R \]

44. Mi a kapcsolat a hatványsor összegfüggvénye és a hatványsor együtthatói között?

TFH $\underset{k=0}{\large\sum}\alpha_k(x-a)^k(x\in\R)$ hatványsor $R$ konvergenciasugara pozitív, és jelölje $f$ az összegfüggvényét.

\[ f^{(n)}(x) =\overset{+\infty}{\underset{k=n}{\sum}}k(k-1)\cdots(k-n+1)\alpha_k(x-a)^{k-n} \]

$x=a:$

\[ \alpha_n=\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}\quad(n\in\N) \]

45. Hogyan definiálja egy függvény Taylor-sorát?

$f\in D^\infty\{a\}:$

\[ T_af(x):=\underset{k=0}{\sum}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\quad(x\in\R) \]

46. Fogalmazza meg a Taylor-formula Lagrange maradéktaggal néven tanult tételt!

$n\in\N,\;f\in D^{n+1}\big(K(a)\big):\forall x\in K(a) : \exists \xi \in (a,x):$

\[ f(x)-T_{a,n}f(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]

47. Milyen elégsés feltételt ismer a Taylor-sornak a generáló függvényhez való konvergenciájával kapcsolatosan?

$f\in D^\infty\big(K(a)\big),\;\exists M >0:\;|f^{(n)}(x)|\le M\;(\forall x\in k(a), \forall n\in\N):$

\[ f(x)=\underset{n\to+\infty}{\lim}\;\overset{n}{\underset{k=0}{\large{\sum}}}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\;=\;\;\overset{+\infty}{\underset{k=0}{\large{\sum}}}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \;(x\in K(a)) \]

A határozatlan integrál (primitív függvények)

48. Definiálja a primitív függvényt!

Legyen $I \subset \mathbb{R}$ nyílt intervallum és $f : I \to \mathbb{R}$ függvény. Azt mondjuk hogy a $F : I \to \mathbb{R}$ függvény az $f$ primitív függvénye, ha:

\[ F \in D(I) \quad\text{és}\quad F'(x) = f(x) \quad (\forall x \in I) \]

49. Adjon meg olyan függvényt, amelyiknek nincs primitív függvénye!

\[ f(x) := \begin{dcases} 0,\quad \text{ha}~ x \leq 0 \\ 1,\quad \text{ha}~ x > 0\end{dcases} \]

50. Fogalmazza meg a primitív függvény létezésére vonatkozó szükséges feltételt!

$I\subset\R,\;f:I\to\R\;f$-nek van primitív függvénye $\implies f$ Darboux-tulajdonságú

VAGY

$I\subset\R,\;f:I\to\R\;f$-nek van primitív függvénye $\implies \forall a,b\in I, a<b,\;\forall c \in (f(a),f(b)):\;\exists\xi\in(a,b):\;f(\xi)=c$

51. Fogalmazza meg a primitív függvény létezésére vonatkozó elégséges feltételt!

$I \subset\R,\;f:I\to\R,\;f\in C(I) \implies~~f$-nek van primitív függvénye

52. Mit jelent egy függvény határozatlan integrálja?

\[ \int f:=\int f(x)\,dx:=\Big\{\;F:I\to\R~\Big|~F\in D\text{~és~} F'=f\;\Big\} \]

Alt. jelölés:

\[ \int f(x)\;dx=F(x)+c\quad(x\in I) \]

53. Mit ért a határozatlan integrál linearitásán?

$I\subset \R$ nyílt intervalum, $f,g:I\to\R$ függvénynek létezik primitív függvénye, akkor tetszőleges $\alpha,\beta\in\R$ mellett $(\alpha f+\beta g)$-nek is létezik primitív függvénye és

\[ \int\big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big)\,dx = \alpha\int f(x)dx\,+\,\beta\int g(x)\,dx\quad(x\in I) \]

54. Mit mond ki a primitív függvényekkel kapcsolatos parciális integrálás tétele?

$I \subset\R$ nyílt intervallum. TFH $f,g\in D(I)$ és az $f'g$ függvénynek létezik primitív függvénye $I$-n. Ekkor az $fg'$ függvénynek is van primitív függvénye és

\[ \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\quad(x\in I) \]

55. Hogyan szól a primitív függvényekkel kapcsolatos első helyettesítési szabály?

$I,J \in\R$ nyílt intervallumok, $g:I\to\R,\,f:J\to\R,\;g\in D(I),\;\mathcal{R}_g\subset J$ és $f$-nek van primitív függvénye. Ekkor az $(f\circ g)\cdot g'$ függvénynek is van primitív függvénye és

\[ \int f\big(g(x)\big) \cdot g'(x)\,dx=F\big(g(x)\big)+c\qquad(x\in I) \]

56. Fogalmazza meg a primitív függvényekkel kapcsolatos második helyettesítési szabályt!

$I,J\subset\R$ nyílt intervallumok, $f:I\to\R,\;g:J\to I$ bijekció, $g\in D(J),\;g'(x)\ne0\;(\forall x\in J)$ és az $f\circ g \cdot g':J\to\R$ függvénynek van primitív függvénye. Ekkor az $f$ függvénynek is van primitív függvénye és

\[ \int f(x)\,dx\;\underset{x=g(t)}{=}\;\int f\big(g(t)\big)\cdot g'(t)\,dt_{\big|t=g^{-1}(x)}{} \]

A határozott integrál

57. Definiálja intervallum egy felosztását!

$\tau:=\{a = x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\}$

58. Mit jelent egy felosztás finomítása?

$\tau_1,\tau_2\in\mathcal{F}[a,b],\;\tau_1\subset\tau_2$

Ekkor $\tau_2$ finomítása $\tau_1$-nek

59. Mi az alsó közelítő összeg definíciója?

$f\in K[a,b],\,\tau\in\mathcal{F}[a,b]$

\[ m_i:=\inf\big\{f(x)\;\big|\;x_{i-1}\le x\le x_i\;\big\}\,=\,\underset{[x_{i-1},x_i]}{\inf}\,f \]

\[ s(f,\tau):=\overset{n}{\underset{i=1}{\Large{\sum}}}m_i(x_i-x_{i-1}) \]

60. Mi a felső közelítő összeg definíciója?

$f\in K[a,b],\,\tau\in\mathcal{F}[a,b]$

\[ M_i:=\sup\big\{f(x)\;\big|\;x_{i-1}\le x\le x_i\;\big\}\,=\,\underset{[x_{i-1},x_i]}{\sup}\,f \]

\[ S(f,\tau):=\overset{n}{\underset{i=1}{\Large{\sum}}}M_i(x_i-x_{i-1}) \]

61. Mi történik egy alsó közelítő összeggel, ha a neki megfelelő felosztást finomítjuk?

$f\in K[a,b],\;\tau_1,\tau_2\in\mathcal{F}[a,b], \tau_1\subset\tau_2:$

\[ s(f,\tau_1)\le s(f,\tau_2) \]

62. Mi történik egy felső közelítő összeggel, ha a neki megfelelő felosztást finomítjuk?

$f\in K[a,b],\;\tau_1,\tau_2\in\mathcal{F}[a,b], \tau_1\subset\tau_2:$

\[ S(f,\tau_1)\ge S(f,\tau_2) \]

63. Milyen viszony van az alsó és a felső közelítő összegek között?

$f\in K[a,b],\;\tau_1,\tau_2\in\mathcal{F}[a,b]:$

\[ s(f,\tau_1)\le S(f,\tau_2) \]

64. Mi a Darboux-féle alsó integrál definíciója?

$\big\{s(f,\tau)\;\big|\;\tau\in\mathcal{F}[a,b]\big\} \ne \emptyset$ halmaz felülről korlátos,

\[ \exists \sup\big\{s(f,\tau)\;\big|\;\tau\in\mathcal{F}[a,b]\big\} =: I_*(f)\in\R \]

65. Mi a Darboux-féle felső integrál definíciója?

$\big\{S(f,\tau)\;\big|\;\tau\in\mathcal{F}[a,b]\big\} \ne \emptyset$ halmaz alulról korlátos,

\[ \exists \inf\big\{S(f,\tau)\;\big|\;\tau\in\mathcal{F}[a,b]\big\} =: I^*(f)\in\R \]

66. Mikor nevez egy függvényt (Riemann)-integrálhatónak?

$f\in K[a,b]$

\[ I_*(f)=I^*(f)\implies f\in R[a,b] \]

67. Hogyan értelmezi egy függvény határozott (vagy Riemann-) integrálját?

\[ I_*(f)=I^*(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)\,dx \]

68. Adjon meg egy példát nem integrálható függvényre!

\[ f(x):=\begin{cases}0,& \text{ha}~x\in[0,1]\,\cap\,\mathbb{Q} \\ 1,& \text{ha}~x\in[0,1]\,\cap\,(\R\,\backslash\,\mathbb{Q})\end{cases} \]

69. Mi az oszcillációs összeg definíciója?

$f\in K[a,b],\;\tau\in\mathcal{F}[a,b]:$

\[ \Omega(f,\tau):=S(f,\tau)-s(f,\tau) \]

az $f$ függvény $tau$ felosztáshoz tartozó oszcilláló összege

70. Hogyan szól a Riemann-integrálhatósággal kapcsolatban tanult kritérium az oszcillációs összegekkel megfogalmazva?

\[ f\in R[a,b]\iff \forall \varepsilon>0:\exists\tau\in\mathcal{F}[a,b]:\;\Omega(f,\tau)<\varepsilon \]

71. Felosztássorozatok segítségével adja meg a Riemann-integrálhatóság egy ekvivalens átfogalmazását!

$f\in R[a,b],\;\underset{a}{\overset{b}{\int}}f = I \iff \exists (\tau_n)$ felosztássorozat:

\[ \underset{n\to+\infty}{\lim}s(f,\tau_n)=\underset{n\to+\infty}{\lim}S(f,\tau_n)=I \]

72. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények összegével kapcsolatban tanult tétel?

$f,g\in R[a,b]:$

\[ f+g\in R[a,b],\quad\underset{a}{\overset{b}{\int}}(f+g)= \underset{a}{\overset{b}{\int}}f+\underset{a}{\overset{b}{\int}}g \]

73. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények szorzatával kapcsolatban tanult tétel?

$f,g\in R[a,b]:$

\[ f\cdot g\in R[a,b] \]

74. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények hányadosával kapcsolatban tanult tétel?

$f,g\in R[a,b]:$

\[ \frac fg\in R[a,b] \]

75. Milyen tételt tanult Riemann-integrálható függvény értékeinek megváltoztatását illetően?

$f,g\in K[a,b],\;f\in R[a,b]$

$A:=\big\{x\in[a,b]\big|f(x)\ne g(x)\big\}$ halmaz véges $\implies g\in R[a,b]:$

\[ \underset{a}{\overset{b}{\int}}g = \underset{a}{\overset{b}{\int}} f \]

76. Mit ért a Riemann-integrál intervallum szerinti additivitásán?

$f:[a,b]\to\R,\;c\in(a,b)$

\[ f\in\R\iff f\in R[a,c],\;f\in R[c,b]\implies \]

\[ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f =\underset{a}{\overset{c}{\int}}f+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f \]

77. Hogyan szól az integrálszámítás első középértéktétele?

$f,g\in R[a,b],\;g\le0:$

$m:=\underset{[a,b]}{\inf}f,\;M:=\underset{[a,b]}{\sup}f$

\[ m\cdot\underset{a}{\overset{b}{\int}}g\le\underset{a}{\overset{b}{\int}}f\cdot g \le M\cdot\underset{a}{\overset{b}{\int}}g \]

$f\in C[a,b]\implies\exists\xi\in[a,b]:$

\[ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f\cdot g=f(\xi)\cdot\underset{a}{\overset{b}{\int}} g \]

78. Fogalmazza meg a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-féle egyenlőtlenséget!

$f,g\in R[a,b]:$

\[ \left|\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)\cdot g(x)\,dx\right|\le\sqrt{\underset{a}{\overset{b}{\int}}f^2(x)\,dx}\cdot\sqrt{\underset{a}{\overset{b}{\int}}g^2(x)\,dx} \]

79. Mi a kapcsolat a monotonitás és a Riemann-integrálhatóság között?

Ha az $f:[a,b]\to\R$ monoton $[a,b]$-n, akkor integrálható $[a,b]$-n.

80. Definiálja a szakaszonként monoton függvény fogalmát!

$a,b\in\R,\;a<b,\;f:[a,b]\to\R$ szakaszonként monoton, ha

\[ \exists m\in\N^+,\;\tau=\big\{a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b\big\}\in\mathcal{F}[a,b] \]

$\forall i\in[1,m]:$

az $f_{|_{(x_{i-1},x_i)}}$ függvény monoton
$f\in korlátos [a,b]$-n

81. Definiálja az egyenletes folytonosság fogalmát!

Az $f\in\R\to\R$ egyenletesen folytonos a $H\subset\mathcal{D}_f$ halmahonz, ha

\[ \forall\varepsilon>0:\;\exists\delta>0:\;\forall x,y\in H,\,|x-y|<\delta:\;|f(x)-f(y)|<\varepsilon \]

82. Mondja ki az egyenletes folytonosságra igazolt Heine-tételt!

$-\infty<a<b<+\infty,\;f\in C[a,b]\implies f$ egyenletesen folytonos $[a,b]$-n

83. Mi a kapcsolat a folytonosság és a Riemann-integrálhatóság között?

\[ C[a,b]\subset R[a,b] \]

84. Definiálja a szakaszonként folytonos függvény fogalmát!

$a,b\in\R,\;a<b$

AMH az $f:[a,b]\to\R$ szakaszonként folytonos, ha

\[ \exists m\in\N^+,\;\tau=\big\{a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b\big\}\in\mathcal{F}[a,b] \]

$\forall i\in[1,m]:$

az $f_{|_{(x_{i-1},x_i)}}$ függvény folytonos
léteznek és végesek a $\underset{x_{i-1}+0}{\lim}f,\underset{x_i-0}{\lim}f$ határértékek

85. Hogyan szól a Newton–Leibniz-tétel?

$f\in R[a,b]$ és $f$-nek van primitív függvénye az $[a,b]$ intervallumon, akkor:

\[ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)\,dx=F(b)-F(a)=:[F(x)]_a^b \]

ahol $F$ az $f$ egy tetszőleges primitív függvénye.

86. Definiálja az integrálfüggvény fogalmát!

$f\in R[a,b],\,x_0\in[a,b]$

\[ F:[a,b]\ni x\mapsto\underset{x_0}{\overset{x}{\int}}f(t)\,dt \]

az $f~~x_0$-ban eltűnő integrálfüggvénye

87. Fogalmazza meg az integrálfüggvény folytonossáagára vonatkozó állítást!

$f\in R[a,b],\;x_0\in[a,b]:$

\[ F(x)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int}}f(t)dt\quad(x\in[a,b]) \]

folytonos $[a,b]$-n

88. Mondja ki az integrálfüggvény deriválhatóságára vonatkozó tételt!

$f\in R[a,b],\;x_0\in[a,b]:$

\[ F(x)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int}}f(t)dt\quad(x\in[a,b]) \]

$\forall x\in[a,b],f\in C\{x\}\implies F\in D\{x\},\;F'(x)=f(x)$

89. Hogyan szól a parciális integrálásra vonatkozó tétel határozott integrálra?

$f,g:[a,b]\to\R,\;f,g\in D[a,b],\;f',g'\in R[a,b]$

\[ \underset{a}{\overset{b}{\int}}fg'=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int}}f'g \]

90. Mi a helyettesítéses integrálás szabálya határozott integrálra?

$f\in C[a,b],\;g:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ folytonosan deriválható

Ekkor

\[ \underset{g(\alpha)}{\overset{g(\beta)}{\int}}f=\underset{\alpha}{\overset{\beta}{\int}}f\circ g \cdot g' \]

91. Mikor mondjuk azt, hogy az $f : \left[a, b\right] \rightarrow \R (a, b \in \R, a < b)$ függvény grafikonja rektifikálható?

$a,b\in\R,\,a<b,\;f:[a,v]\to\R$

\[ \Gamma_f:=\big\{(f,f(x))\big|x\in[a,b]\big\} \]

függvénygrafikon akkor rektifikálható, ha

\[ \ell(\Gamma_f):=\sup\big\{\ell(\tau)\,\big|\,\tau\in\mathcal{F}[a,b]\big\}<+\infty \]

92. Hogyan értelmezzük a folytonosan deriválható $f : \left[a, b\right] \rightarrow \R (a, b \in \R, a < b)$ függvény grafikonjának az ívhosszát?

$a,b\in\R,\,a<b,\;f:[a,v]\to\R,\;f\in C,\;f\in D$

\[ \ell(\Gamma_f):=\sup\big\{\ell(\tau)\,\big|\,\tau\in\mathcal{F}[a,b]\big\}<+\infty \]

illetve

\[ \ell(\Gamma_f)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\,dx<+\infty \]

az $f$ grafikonjának ívhossza.

93. Adja meg az $\overset{+ \infty}{\underset{0}{\int}} f$ improprius integrál definícióját!

$f:[0,+\infty)\to\R,\;\forall t > 0: f\in R[0,t]:$

\[ \underset{t\to +\infty}{\lim}\underset{0}{\overset{t}{\int}}f(x)\,dx=:I \]

szám az $f$ improprius integrálja $[0,+\infty)$-n

94. Definiálja az $f : \left[a, b\right) \rightarrow \R$ típusú függvényekre az $\overset{b}{\underset{a}{\int}} f$ improprius integrál fogalmát!

$-\infty<a<b<+\infty,\;f:[a,b)\to\R,\;\forall t\in (a,b)f\in R[t,b]$. Ha a

\[ \underset{t\to b-0}{\lim}\underset{a}{\overset{t}{\int}}f(x)\,dx=:I \]

szám létezik és véges, akkor AMH az $f$ függvény improprius integrálja konvergens, és értéke $I$

95. Definiálja az $f : \left(a, b\right] \rightarrow \R$ típusú függvényekre az $\overset{b}{\underset{a}{\int}} f$ improprius integrál fogalmát!

$-\infty<a<b<+\infty,\;f:(a,b]\to\R,\;\forall t\in (a,b)f\in R[t,b]$. Ha a

\[ \underset{t\to a+0}{\lim}\underset{t}{\overset{b}{\int}}f(x)\,dx=:I \]

szám létezik és véges, akkor AMH az $f$ függvény improprius integrálja konvergens, és értéke $I$