Kihagyás

1. előadás

  • Nincs vizsga!
  • 2 ZH a gyakorlatok idején
  • 1 ZH a félév után, előadás anyagból

Kezdés: 14:15-15:00

Maga "Statisztikus",vagy miből számolta ki?

ZH: 6. és 11. hét

🦐 <- he fried this rice

Kísérlet EGY lehetséges kimenetele: elemi esemény, \(\omega\)

Elemi események összessége: eseménytér, \(\Omega\)

pl.

  • kockadobás
    • \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
  • Érme kétszer feldobása (!)
    • \(\Omega = \{II, IF, FI, FF\}\)
  • Érmét addig dobunk, amíg fejet nem kapunk.
    • \(\Omega=\{F,IF,IIF,\ldots,\omega_\infty\},\) ahol \(\omega_\infty = III\ldots\)
      • Azaz minden dobás írás&&

Események

  • Esemény: \(\Omega\) részhalmaza
  • Speciális események
    • \(\Omega\)
      • biztos esemény
    • \(\emptyset\)
      • Lehetetlen esemény
  • Megszokott halmazműveletek érvényesek
- De Morgan azonosságokkal is

Valószínűség

  • Szemléletes megfelelője: relatív gyakoriság
    • Ha \(n\) végrehajtott kísérletből az adott \(A\) esemény \(k\)-szor következett be, akkor a relatív valószínűsége \(\frac{k}{n}\)

Nagy \(n\)-re a relatív gyakoriság egy fix szám k

Jele: \(P(A)\)

Tulajdonságai:

  • \(P(A) \geq 0\)
  • Ha \(A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A)+P(B)\)
    • Additivitás
  • \(P(\Omega) =1\)
  • Additivitás \(n\) elemre
    • Bizonyítás: indukció
  • \(P(\emptyset)= 0\)
    • Bizonyítás: \(\Omega = \Omega \cap \emptyset\) + Additivitás
  • \(P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)\)
    • Bizonyítás: \(A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)\) felbontásból és additivásból
  • \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
    • similar approach

Véges valószínűségi mező

\(\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n\}\)

  • Jelölés: \(p_i=P(\omega_i)\)
\[ \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\;p_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}P(\omega_i)=P(\Omega)=1 \]

az additivitásból.

\[ P(A) = P(\cup_{i: \omega_i \in A} \; \omega_i) = \sum_{i:\omega_i \in A}p_i \]

Klasszikus valószínűségi mező

  • \(\forall i:\;p_i = \frac1n\)
  • ekkor \(P(A) = \frac k n\), ahol \(k\) az \(A\) elemszáma

Visszatevéses mintavétel

  • \(N\) termék, melyből \(M\) selejtes
  • \(n\) elemű minta visszatevéssel
  • \(A\): pontosan \(k\) selejtes van a mintában
\[ k=0,\ldots,n:\quad P(A)=\binom{n}{k}\left(\dfrac{M}{N}^2\right)\left(1-\dfrac{M}{N}\right)^{n-k} \]

Tehát kifejezhető a \(p=\frac{M}{N}\) segítségével:

\[ P(A)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]

Visszatevés nélküli mintavétel

  • \(N\) termék, amelyből \(M\) selejtes
  • \(n\) elemű minta visszatevés nélkül
  • \(A\): pontosan \(k\) selejtes van a mintában
\[ P(A) \frac{\binom{M}{K}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]

Feltételes valószínűség

  • Az \(A\) esemény valószínűségét keressük
  • Tudjuk, hogy \(B\) esemény bekövetkezett
  • A relatív gyakoriságokkal csak azokat a kísérleteket nézzük, amelyekben \(B\) bekövetkezett.
\[ \frac{r_{A \cap B}}{r_B} \]
  • Megfelelője valószínűségekre:
\[ P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
  • Az \(A\) esemény \(B\)-re vonatkozó feltáteles valószínűsége
    • Feltéve, hogy \(P(B)>0\)