2. előadás - 4th of july

Legyen \(B_1, B_2, \ldots\) valószínűségű eseményekből álló eseményrendszer. Ekkor

\[ P(B_k|A) = \frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum_iP(A|B_i)P(B_i)} \]

Nevezőben a teljes val. tétele visszatérő karakter. whee

Események függetlensége

Ha a \(B\) esemény bekövetkezése nem befolyásolja az \(A\) valószínűségét, azaz \(P(A\,|\,B)=P(A)\)
- Akkor \(A\) és \(B\) függetlenek
- Önmagában nem szimmetrikus, (csak ha \(P(B)>0\))

Átalakítva:

Definíció

\(A\) és \(B\) függetlenek ha \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

Ha \(A\) és \(B\) diszjunkt, akkor legtöbbször nem függetlenek
- csak akkor, ha \(P(A)=0\;\lor\;P(B)=0\)
  - triviális eset
Ha \(A\) és \(B\) függetlenek, akkor a komplementereik is függetlenek
Önmaguktól csak a trivi események függetlenek
\(A\subset B\) esetén csak akkor függetlenek, ha legalább az egyik trivi
- 0 vagy 1
Tipikus példa két egymást követő kísérlet eredménye

Example

Példa függetlenségre: \(A\) az első, \(B\) a második kisérlet eredménye.