1. zh cheat sheet
Valószínűség
Események függetlensége
\(A\) és \(B\) események függetlenek, ha
Teljes eseményrendszer
\(B_1, B_2, \dots, B_n\) események teljes eseményrendszert, alkotnak, ha \(B_i\) és \(B_j\) diszjunkt, és \(B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n=\Omega\) (Omega - univerzum)
Feltételes valószínűség
\(P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
Bayes-tétel:
\(P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}\)
Ha \(A_i\) teljes eseményrendszer, akkor
\(P(A_k \mid B)=\frac{P(B \mid A_k)P(A_k)}{P(B \mid A_1)P(A_1)+P(B \mid A_2)P(A_2)+\dots+P(B \mid A_n)P(A_n)}\)
Eloszlásfüggvény
\(F_X(x) = P(X < x)\)
- Valószínűsége, hogy az \(X\) valószínűségi változó kisebb, mint \(x\)
Tulajdonságai:
- \(0 \le F_X(x) \le 1\)
- monoton növekvő
- balról folytonos
- \(\lim_{x \to -\infin}F_X(x)=0\)
- \(\lim_{x \to +\infin}F_X(x)=1\)
\(P(a \le X < b) = F(b)-F(a)\)
\(P(a < X \le b) = F(b+)-F(a+)\)
\(P(X=b)=F(b+)-F(b)\)
Várható érték
X várható értéke:
\(E(aX + b)=aEX+b\)
\(E(X+Y)=EX+EY\)
\(D^2X=E[(X-EX)]^2\)
X szórásnégyzete: \(D^2X\)
Abszolút folytonos eloszlások
Az az eloszlás, amelynél létezik olyan \(f(x)\) függvény, hogy \(\int_{-\infin}^xf(t) \, \mathrm dt\)
Ekkor \(f(x)\) a sűrűségfüggvény.
Várható érték
Kovariancia
\(cov(X, Y) = E(XY) - EX \, EY\)
Ha \(X\) és \(Y\) függetlenek, akkor \(cov(X, Y)=0\)
\(D^2(X+Y)=D^2(X)+D^2(Y)+2cov(X, Y)\)
Korreláció
\(R(X, Y) = \frac{cov(X, Y)}{DX \, DY}\)
Táblázatok
Diszkrét eloszlások
| Név(paraméterek) | Értékek (\(k\)) | \(P(X=k)\) | \(EX\) | \(D^2X\) | Magyarázat |
|---|---|---|---|---|---|
| Indikátor (p) (= Binom \((1,p)\)) | \(0,\,1\) | \(p^k(1-p)^{1-k}\) | \(p\) | \(p(1-p)\) | - |
| Binomiális \((n,p)\) | \(0,1,\ldots,n\) | \(\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\) | \(np\) | \(np\cdot(1-p)\) | Mennyi az esélye, hogy \(n\) próbából pontosan \(k\) felel meg. |
| Poisson (\(\lambda\))(🥐) | \(0,1,\ldots\) | \(\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) | - |
| Geometriai \((p)\) | \(1,2,\ldots\) | \(p(1-p)^{k-1}\) | \(\frac1p\) | \(\frac{n(1-p)}{p^2}\) | Mennyi az esélye, hogy pont a \(k\)-adikra felel meg. |
| HiperGeometriai \((N,M,n)\) | \(0,1,\ldots,n\) | \(\dfrac{\binom Mk \binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}\) | \(n\frac{M}{N}\) | \(n\frac MN(1-\frac MN)(1-\frac{n-1}{N-1})\) | Visszatevés nélküli mintavétel |
Folytonos thingies
| SZignatúra | Értékek | Eloszlásfüggvény(\(F\)) | Sűrűségfüggvény(\(f\)) | Kikötés \(f\)-re | \(EX\) | \(D^2X\) | Magyarázat |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Standard normális \(N(0,1)\) | \(\left(-\infty, +\infty\right)\) | \(\Phi(x)\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{\frac{x^2}{2}}\) | \(x\in\R\) | 0 | 1 | |
| Normális \(N(m, \sigma^2)\) | \(\left(-\infty, +\infty\right)\) | Visszavezethető \(\Phi(x)\)-re | \(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\) | \(x\in\R\) | \(m\) | \(\sigma^2\) | |
| Egyenletes \(E[a,b]\) | \([a,b]\) | \(\begin{dcases}0 & x\le a \\ \dfrac{x-a}{b-a} & a < x\le b \\ 1 & b<x\end{dcases}\) | \(\begin{dcases} \dfrac1{b-a} & a < x \le b \\ 0 & else \end{dcases}\) | \(\dfrac{a+b}2\) | \(\dfrac{(b-a)^2}{12}\) | ||
| Exponenciális \(Exp(\lambda)\) | \(\left(0, \infty\right)\) | \(\begin{dcases}1-e^{-\lambda x}& x\ge 0 \\ 0 & else\end{dcases}\) | \(\begin{dcases}\lambda e^{-\lambda x} & x\ge 0 \\ 0 & else\end{dcases}\) | \(F\) | \(\frac1\lambda\) | \(\frac1{\lambda^2}\) | |
| Gamma \(\Gamma(\alpha,\lambda)\) | \(\left(0, \infty\right)\) | yolo (nincs zárt képlet) | \(\begin{dcases} \frac1{\Gamma(\alpha)} \lambda^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} & x\ge 0 \\ 0 & else \end{dcases}\) | \(\frac\lambda\delta\) | \(\frac\lambda{\lambda^2}\) |
Normális eloszlás standardizálása (második sorból vissza az első sorba):
Legyen \(X\sim N(m, \sigma^2)\), ekkor \(\dfrac{X-m}\sigma \sim N(0,1)\)
Ahol